中考数学总复习资料:第十三章 圆

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编辑点评: 数学在中考五门课的考试中,占据着至关重要的位置。如何复习好中考数学,在考试中发挥正常水准是每个学生都希望做到的。因此,熟练掌握基本概念及数学例题是最基本的也是最重要的。

第十三章:圆

知识点:

一、圆

圆的有关性质:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆,固定的端点O叫圆心,线段OA叫半径。

由圆的意义可知:
圆上各点到定点(圆心O)的距离等于定长的点都在圆上。
就是说:圆是到定点的距离等于定长的点的集合,圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫半圆,大于半圆的弧叫优弧;小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
圆心相同,半径不相等的两个圆叫同心圆。
能够重合的两个圆叫等圆。
同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧。

二、过三点的圆

1、过三点的圆
过三点的圆的作法:利用中垂线找圆心
定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆,外接圆的圆心叫外心,这个三角形叫圆的内接三角形。

2、反证法
反证法的三个步骤:
①假设命题的结论不成立;
②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
③由矛盾得出假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
例如:求证三角形中最多只有一个角是钝角。
证明:设有两个以上是钝角
则两个钝角之和>180°
与三角形内角和等于180°矛盾。
∴不可能有二个以上是钝角。
即最多只能有一个是钝角。

三、垂直于弦的直径

圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
推理1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对两条弧。
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一个条弧。
推理2:圆两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
实际上,圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合。
顶点是圆心的角叫圆心角,从圆心到弦的距离叫弦心距。
定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距相等。
推理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

五、圆周角

顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
推理1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
推理2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
推理3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
由于以上的定理、推理,所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。

六、圆的内接四边形

多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫圆内接多边形,这个圆叫这个多边形的外接圆
定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。
例如图6—1,

连EF后,可得:
∠DEF=∠B
∠DEF+∠A=180°
∴∠A+∠B=18ry
∴BC∥DA

七、直线和圆的位置关系

1、直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫圆的割线。
直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点。
直线和圆没有公共点时,叫直线和圆相离。

2、若圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
直线和圆相交 d<r;直线和圆相切 d=r;直线和圆相离 d>r;直线和圆相交 d<r
例如:图6-2中,直线与圆O相割,有:r>d
图6-3中,直线与圆O相切,r=d
图6-4中,直线与圆O相离,r<d

八、切线的判定和性质

切线的判定:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径。
推理1:经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。
推理2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
例如图6-5中,O为圆心,AC是切线,D为切点。
∠B=90°
则有BC是切线
OD是半径
OD⊥AC

九、三角形的内切圆

要求会作图,使它和己知三角形的各边都相切。
∵分角线上的点到角的两边距离相等。
∴两条分角线的交点就是圆心。
这样作出的圆是三角形的内切圆,其圆心叫内心,三角形叫圆的外切三角形。
和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆,多边形叫圆的外切多边形。

十、切线长定理

经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫这点到圆的切线长。
切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角,如图6-6,B、C为切点,O为圆心。
AB=AC,∠1=∠2

十一、弦切角

顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角。
弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。
推理如果两个弦切角所央的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
例如图6-7,AB为切线,
则有:∠C=∠BAE,∠BAE=∠D
∴∠C=∠D

十二、和圆有关的比例线段

相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
推理:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推理:从圆外一点引两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

十三、圆和圆的位置关系如图6-9

若连心线长为d,两圆的半径分别为R,r,则:
1、两圆外离 d >R+r;
2、两圆外切 d = R+r;
3、两圆相交 R-r<d<R+r(R>r)
4、两圆内切 d = R-r;(R>r)
5、两圆内含 d<R-r。(R>r)

定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。
如图6-10,为圆心,
则有:,且AB被平分

十四、两圆的公切线

和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线,两圆在公切线同旁时,叫外公切线,在公切线两旁时,叫内公切线,公切线上两个切点的距离叫公切线的长。
如图6-11,若 A、B、C、D为切点,则AB为内公切线长,CD为外公切线长。

内外公切线中的重要直角三角形,

十五、相切在作图中的应用

生活、生产中常常需要由一条线(线段或孤)平滑地渡到另一条线上,通常称为圆弧连接,简称连接,连接时,线段与圆弧,圆弧与圆弧在连接外相切,如图 6- 14

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