初三数学第一章:二次函数

所属专题:初三数学知识点  来源:互联网    要点:二次函数  
编辑点评: 初三是初中最重要的一年,关系着中考,或许你还不知道从何处下手,小编给大家罗列了初三数学函数的重要知识点,玩转数学,逆袭学霸!
  • 初三数学第一章:二次函数

  • 二次函数的图像

  • 是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 

  • 抛物线的主要特征:

  • ①有开口方向,a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下;
    ②有对称轴;
    ③有顶点;
    ④c 表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c)

  • 二次函数图像性质:

  • 轴对称:

  • 二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

  • 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

  • 特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。

  • a,b同号,对称轴在y轴左侧

  • b=0,对称轴是y轴

  • a,b异号,对称轴在y轴右侧

    顶点:

  • 二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )

  • 当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。

  • h=-b/2a, k=(4ac-b^2)/4a。

    开口:

  • 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

  • 当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

  • |a|越大,则二次函数图像的开口越小

  • 决定对称轴位置的因素:

  • 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

  • 当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号

  • 当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号

  • 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 ),对称轴在y轴右。

  • 事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

    决定与y轴交点的因素:

  • 常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

  • 二次函数图像与y轴交于(0,C)

  • 注意:顶点坐标为(h,k), 与y轴交于(0,C)。

    与x轴交点个数:

  • a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。

  • k=0时,二次函数图像与x轴只有1个交点。

  • a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点。

  • 当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymin=k,在x<h范围内是减函数,在x>h范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k

  • 当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymax=k,在x<h范围内是增函数,在x>h范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下,函数的值域是y<k

  • 当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数。

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