初中数学|你应该掌握这几种数学分类思想

 来源:沪江网校    要点:数学,中考,数理化  
编辑点评: 初中数学分类讨论思想对于学生来说,就像勺子之于厨师一样熟悉。

沪江网校王雪红老师:现任沪江网校初中数学老师,曾在上海知名教育机构任职多年,熟悉全国多版本的数学。授课方式灵活多样,语言风趣幽默;在培养学生数学思想、提升解题能力上经验丰富;重视学生解题方法的梳理和解题技巧的建立,深受学生喜爱。

初中数学分类讨论思想对于学生来说,就像勺子之于厨师一样熟悉。

比如说给你一个等腰三角形,告诉你它的一个角等于30°,让你求底角的外角。这个题目就涵盖着分类讨论的思想,因为题中并没有告诉你是底角还是顶角。再比如说给你一个方程形如ax^2+bx+c=0,让求它的解,这里二次项系数是a,是不是也要就a讨论一番。

分类讨论思想真是个无孔不入的家伙!

对于我们中学生来说,分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形,然后再逐类进行求解的一种数学解题思想

这种思想往往被用在,一些题目条件含有不确定因素或者结论不能给予统一表述的数学问题,我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决

在一张卷子上,考察到这个思想的题目大约会占据4~16分,各种题型都有。你说你学不学?

而且这类题目给你设置的最经典的坑就是:重复讨论和遗漏讨论的错误

下面,我们就五个典型例题,来说一下分类讨论在解答题如何得分!

例题1如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12.动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P、Q分别从点D、C同时出发,当点Q运动到点B时,点P随之停止运动。设运动的时间为t(秒)。当t为何值时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?

解:要使以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形,则需有BP=QP,或BP=BQ,或QP=BQ。

【知识点】

本题是图形的运动问题,考察的知识点有等腰三角形的定义,勾股定理,无理方程的解法,一元二次方程根的判别式。在读题时就要明白该类题需分析BP=QP,或BP=BQ,或QP=BQ三种情况。与该题类似的还有在平面直角坐标系中,两点固定,另一点在一条直线上运动,求三点构成的三角形为等腰三角形有几种情况。

例题2

解:

【知识点】

本题是涉及了点的运动,考察的有矩形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,锐角的三角比,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的定义。

这类涉及到点的运动的题目也常常运用分类讨论思想,常见的考察形式有选择填空题

例题3

【知识点】

在一个三角形中,如果没有确定特定的角是哪个角,也要运用分类讨论思想来解问题。同学们在做题的时候可多积累该类型的题目。

考察的有正方形的定义与性质,勾股定理,平行线分线段成比例定理,相似三角形的性质,角平分线的性质定理。

例题4

【知识点】

当题目设计到圆的时候,由于两圆的位置关系不定,需分类讨论。考察两圆的位置关系,勾股定理,无理方程的解法,直角梯形的有关性质。

例题5在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.

(1)如图,求证:△ADE∽△AEP;

(2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;

(3)当BF=1时,求线段AP的长.

解:

(1)证明:联结OD。

∵AP切半圆于D,∴∠ODA=∠PED=90°。

又∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED。

∴90°+∠ODE=90°+∠OED。

∴∠EDA=∠PEA。

又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△AEP。

【知识点】

相似三角形的判定,圆的切线的性质,平行线分线段成比例定理,等腰三角形的判定和性质。

综上所述,因为很多数学问题不仅在涉及的范围上带有综合性,而且,问题本身会受多种条件的交叉制约,形成错综复杂的局面,很难从整体上着手解决。所以,只能运用分类讨论思想,化整为零,各个击破,最后到达整体的解决。

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