中考数学压轴题(10)

所属专题:中考数学压轴题及答案  来源:沪江中学学科网    要点:中考数学压轴题  
编辑点评: 同学们在数学考试中如果遇到压轴题,一般都会怎么应对呢?对于压轴题,只要同学们基础扎实大可不必畏惧,平心静气去做,完全有可能做对。本文是一篇考察二次函数的应用的一道中考压轴题,同学们不妨试一试。

考点:二次函数综合题.

分析:(1)如图甲,连接PE、PB,设PC=n,由正方形CDEF的面积为1,可得CD=CF=1,根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n,由PB=PE,根据勾股定理即可求得n的值,继而求得B的坐标;

(2)由(1)知A(0,2),C(2,0),即可求得抛物线的解析式,然后求得FM的长,则可得△PEF∽△EMF,则可证得∠PEM=90°,即ME是⊙P的切线;

(3)①如图乙,延长AB交抛物线于A′,连CA′交对称轴x=3于Q,连AQ,则有AQ=A′Q,△ACQ周长的最小值为AC+A′C的长,利用勾股定理即可求得△ACQ周长的最小值;
②分别当Q点在F点上方时,当Q点在线段FN上时,当Q点在N点下方时去分析即可求得答案.

解答:解:(1)如图甲,连接PE、PB,设PC=n,

∵正方形CDEF的面积为1,

∴CD=CF=1,

根据圆和正方形的对称性知:OP=PC=n,

∴BC=2PC=2n,

∵而PB=PE,

∴PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2,PE2=PF2+EF2=(n+1)2+1,

∴5n2=(n+1)2+1,

解得:n=1或n=-12(舍去),

∴BC=OC=2,

∴B点坐标为(2,2);

(2)如图甲,由(1)知A(0,2),C(2,0),

∵C与G关于直线x=3对称,

∴CF=FG=1,

∴MF= 12FG= 12,

在Rt△PEF与Rt△EMF中,

∠EFM=∠EFP,

∵FMEF=121=12,EFPF=12,

∴FMEF=EFPF,

∴△PEF∽△EMF,

∴∴∠EPF=∠FEM,

∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°,

∴ME是⊙P的切线;

点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,圆的性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性很强,题目难度较大,解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用.

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