换底公式

 来源:沪江中学学科网    要点:换底公式  
编辑点评: 换底公式是一个比较重要的公式,在很多对数的计算中都要使用。也是高中数学的重点   log(a)(b)表示以a为底的b的对数。   所谓的换底公式就是log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).

换底公式是一个比较重要的公式,在很多对数的计算中都要使用,也是高中数学的重点。另有两个推论。

loga(b)表示以a为底的b的对数。
换底公式就是
log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均大于零且不等于1)

推导过程

若有对数log(a)(b)设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)如:log(10)(5)=log(5)(5)/log(5)(10)
则 log(a)(b)=log(n^x)(n^y)
根据对数的基本公式
log(a)(M^n)=nloga(M)和 基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
易得
log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/x log(n)(n)=y/x
由 a=n^x,b=n^y可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有:log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证:log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
例子:log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1

公式二:log(a)(b)=1/log(b)(a)
证明如下:
由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数
log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1

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