初三上册数学“相似三角形的性质”教学片断

所属专题:初三数学知识点  来源:沪江中学学科网    要点:初三数学知识点  
编辑点评: 要想把数学学好,就一定要把基础知识和基本概念弄清楚,结合相应的练习,勤思考善于总结。本文是一篇初三数学“相似三角形”一节的教学片断,供大家参考。

复习提问

问:相似三角形的定义是什么?

生:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似。

问:通过相似三角形的定义,你能得到一些什么样的性质?

生:两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例。

问:其应用格式是什么?以图为描述对象:

生:∵ΔABC∽ΔA1B1C1,

∴∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1

问:什么叫相似比?

生:对应边的比。

新课过程

人们从很早开始,就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度.古代一位数学家泰勒斯到埃及游学,泰勒斯出身贵族,在和家人分家的时候,泰勒斯一样东西也不要,带些钱只身到埃及游学。认识他的人,都叫他傻子。

师:学了地理,你们知道埃及的气候怎样?

生:高温、晴朗,大部分面积是沙漠。

师:是的,但尼罗河两岸是生机勃勃的村庄。灼热的阳光照耀下,热气在大地上升腾,翻滚的热浪,一阵阵拂过人们的面庞,泰勒斯与他的弟子们,还有一些埃及贵族,坐在金字塔的阴影中谈论着一些琐事。

一位贵族想戏弄一下泰勒斯,对泰勒斯说到:“亲爱的泰勒斯先生,到埃及的日子也不短了,有什么收获呢?总不能空手而归吧?”

泰勒斯从容不从容不迫的答道:“亲爱的先生们,我们或许追求不同,也许你喜欢金钱,也许你喜欢女人,而我则不同,只以追求科学知识为光荣。”

泰勒斯继续说到:“我到埃及游学,学到了很多知识,并把几何提到了证明的理论高度,并给予证明”。

贵族说到:“您的那些东西,又有什么用呢?它能算出金字塔的高吗?”

泰勒斯并没有立即想出办法来:“怎样测出金字塔的高度,让我回家好好想一想,五天后见。”

师:前面我们学了有关比例的知识,你能想出办法来吗?

生:用我们前面做过的题,使用比例式: ,放一根杆子就能测出来了。

师:呵呵,要以同学们现在的知识,在古代埃及,就是一位大数学家啦!希望同学们通过自己的努力,能成为以后的数学家,可以想象得出来,五天后,泰勒斯正是用这个方法测出来的。受到了人们的欢呼。明天我再给大家讲讲泰勒斯是如何利用知识发财的。

如图所示,如果ΔABC∽ΔA1B1C1,AD是BC边上的高,A1D1是B1C1边上的高,且 =k,请大家猜想: 与相似比有何关系?

师:猜想要经过证明才能作为结论使用,请大家想一想,如何证明?

(留几分钟给学生思考)

分析:在这里要通过三角形相似去证比例式,先要看所证的比例式在哪两个三角形中,在这里是在ΔABD与ΔA1B1D1中,只需要证这两个三角形相似即可。再想想:要证这两个三角形相似,具备了哪些条件,还差哪些条件?

请大家写出证明过程(此时大多数学生已能找到证题思路)

证明:∵ΔABC∽ΔA1B1C1,

∴∠B=∠B1

又∵AD是BC边上的高,A1D1是B1C1边上的高

∴∠ADB=∠A1D1B1=90°

∴ΔABD∽ΔA1B1D1(AA)

师:请大家用语言来总结这个结论?

生:相似三角形的对应高的比等于相似比。

邓亚平:老师,我认为还可以总结得更一般点?

师:说说你的想法?

邓亚平:相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。

师:你们大家的看法呢?

生众:可以这样总结,我们也是这样认为的。

师:首先对这种思考方式表示赞赏,非常不错的。但要说明的是,根据一些特殊的结论来进行推广,属于我们合情推理的一部分,但这种推理有些是正确的,而有些会产生错误。能不能再举一点例子说明你们这个结论的正确性?

生:还有对应角平分线与中线可以用来证明这个结论(情绪高涨)。

师:好的,来看一看,如何证明?

如图所示,如果ΔABC∽ΔA1B1C1,AD是∠BAC 的角平分线,A1D1是∠B1A1C1的角平分线,且 =k,试证: = =k。

生:简单,证得∠BAD=∠B1A1D1即可。

师:大家在学习新东西的时候切勿眼高手低,一定要塌实的完成例题,否则很容易导致失误。另外数学的书写格式很重要,特别对于考试来说,步骤是按步得分,如果有跳步现象就是要被扣分,如果有重复书写,就是浪费了时间。所以还是请大家认真写出证明过程来。

生:∵ΔABC∽ΔA1B1C1,

∴∠BAC=∠B1A1C1

又∵AD是∠BAC 的角平分线,A1D1是∠B1A1C1的角平分线

∴∠BAD= ∠BAC,∠B1A1D1= ∠B1A1C1

∴∠BAD=∠B1A1D1

∴ΔABD∽ΔA1B1D1(AA)

师:没有写清楚的同学请自己改正,这个问题解决了,对应中线的比呢?

如图所示,如果ΔABC∽ΔA1B1C1,AD是BC边上的中线,A1D1是B1C1边上的中线,且 =k,试说明: = =k。

生:一样的证明。

师:是一样吗?再仔细看看。

生众:有一点不一样,就是要利用 (S顶上的字母r表示成比例的意思,以后同)来证ΔABD∽ΔA1B1D1( )。

师:是的,要细心一点,请大家写出证明过程。

生:∵ΔABC∽ΔA1B1C1,

∴∠B=∠B1

又∵AD是BC边上的中线,A1D1是B1C1边上的中线

∴BC=2BD,B1C1=2B1D1

∴ΔABD∽ΔA1B1D1( )

师:谁来总结一下这个小结论?

生:相似三角形的对应中线的比等于相似比。

师:你们说的是一切对应线段的比等于相似比,这几个也是特殊的,我也要难一难你们,更一般地,能证明下面的结论吗?

如图所示,如果ΔABC∽ΔA1B1C1, D是BC边上的点,且BD= BC;D1是B1C1边上的点,且B1D1= B1C1,且 =k,试说明: = =k。

生:这个简单,把上面证明中

“又∵AD是BC边上的中线,A1D1是B1C1边上的中线

∴BC=2BD,B1C1=2B1D1

改为:∵BD= BC,B1D1= B1C1

∴BC=3BD,B1C1=3B1D1

师:呵呵!你们很会偷懒的,不过这里偷懒无罪,积极动脑该表扬,这也是积极动脑的表现,前面我们提到跳步的现象这里还不存在,这点我很满意,大家的态度是很认真的,在这里我更满意的是这里的“偷懒”行为。因为前面几位同学的步骤实在是太繁,我不想提出来,是希望激出某类“偷懒”的行为,现在成功了。主要是通过代换将式子化为我们的需要的式子。由衷的为你们的自发性成功道贺。不过别得意,好戏还在后头,我还要再难一难你们,接招:

把A、A1分别沿AB、A1B1移动到E、E1的位置,如下有:

如图所示,如果ΔABC∽ΔA1B1C1, D是BC边上的点,且BD= BC;D1是B1C1边上的点,且B1D1= B1C1;E点在AB上,且AE= AB;点E1在A1B1上,且A1E1= A1B1,有=k,试说明: = =k。

生:简单,只需要改动前面证明过程中比例式的左半部分就可以了。按您这么变,还可以更随意一点的。

师:是的,看来你们是能够说服我的了,因为这个定理是邓亚平先说出来的,尽管其它同学也在下面小声的说,我们把这个结论命名为……

学生(兴奋地)接话:邓亚平定理。(相似三角形一切对应线段的比等于相似比。)

师:好的,除了相似三角形外,更一般的……

生:相似形的一切对应线段的比等于相似比。

师:好的。同学们的总结的好处再于,我们把众多的结论归结为一个定理,不但使我们记忆负担减轻了(现在只需要记一个定理),更重要的是使我们的……

生接话:认识更深刻了。也利于这个知识的应用。

师:还有我们是站在一个系统的高度认识问题的。还有什么问题吗?

生:面积的比与相似比有何关系呢?

师:我也正想问呢,你们觉得呢?

生:(有的说等于相似比,有的说等于相似比的平方)

先看一个具体的例子:

如图,ΔABC与ΔA1B1C1相似比为1∶2,后者的面积为前者的多少倍?

生:后者是前者的4倍。

师:如果ΔABC与ΔA2B2C2相似比为1∶3呢?

生:后者的面积是ΔABC的面积的9倍。

师:根据这个特例,我们可以得出我们的猜想……

生:相似三角形面积的比等于相似比的平方。

师:如何证明呢?

如图所示,如果ΔABC∽ΔA1B1C1,AD是BC边上的高,A1D1是B1C1边上的高,且 =k,请大家证: =k2

师:请大家思考几分钟。

李伟上黑板做(其余同学在下面做):

李伟:∵ΔABC∽ΔA1B1C1,

∴ = = =k(相似三角形一切对应线段的比等于相似比)

又∵AD是BC边上的高,A1D1是B1C1边上的高

师:很好,刚学会定理就用,要这样。我们还可以这样来理解,三角形的面积等于底与相应的高的积的一半,两个三角形的底边扩大与缩小相同的倍数,其高也相应的扩大与缩小相同的倍数,其乘积将扩大与缩小相同的倍数的平方。

师:你们的猜想是正确的,请体会一下这个结论。

口答:两个相似三角形的相似比为2∶3,则面积比为__________。(生:4∶9)

两个相似三角形的面积比为25∶16,则相似比为_________。(生:5∶4)

师:如何来的呢?

生:已知面积比求相似比,把面积比开方就可以了。

口答:两个相似三角形的面积比为4∶3,则相似比为__。(生:2∶ )

师:我们四川的大文学家苏轼,现打算在乐山的新广场,按1∶5的相似比,用大理石为其塑造一座雕像,如果苏轼的体积为0.06米3,则需要多少立方米的大理石?

生:这是体积比。

师:是的,请大家想一想,体积比与相似比有何关系呢?

生:……

部分生:应该是相似比的立方。

师:大家再想想,最好能说出为什么?

生:长、宽、高都扩大与缩小k(相似比)倍,其体积将三者乘起来,当然该扩大与缩小相似比的k3倍了。

师:这个想法是正确的。来看最简单的正方体:

师:现在你能计算出需要多少立方米的大理石吗?

生: ,有x=0.06×125=7.3米3。

生感叹:体积要扩大125倍。

师:还有一分多钟下课,想再考你们一下……

生:考吧!(情绪高涨)

师:有放大k倍的(比如线段);有放大k2倍(比如面积);有放大k3倍(比如体积),那么有放不大的图形吗?

(稍怔):角。

师:正确。比如直角,无论如何放大,仍然是直角,放大或缩小前后大小的比为1。

谁来把今天的探索的总结一下(下课铃声已经打响了)

生:

相似三角形对应角的比为1;(师插话:即放不大)

相似三角形一切对应线段的比等于相似比;

相似三角形面积的比等于相似比的平方;

相似体的体积的比等于相似比的立方。

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