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练习题及答案

已知方程组的解x为非正数,y为负数。
(1)求a的取值范围;
(2)在上述a的取值范围中,当a为何整数时,不等式2ax+x>2a+1的解为x<1?
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解:(1)解方程组得
因为,x是非正数,y是负数,
所以
解这个不等式组得:
所以a的取值范围是-2<a≤3;
(2)(2a+1)x>2a+1
因为解集为x<1,
所以2a+1<0
a<-
因为a是取值范围是-2<a≤3,
所以-1<a<-
所以整数a=-1。
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考点梳理

初中二年级数学试题“已知方程组的解x为非正数,y为负数。(1)求a的取值范围;(2)在上述”旨在考查同学们对 二元一次方程组的解法 一元一次不等式的解法 一元一次不等式组的解法 ……等知识点的掌握情况,关于数学的核心考点解析如下:

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定义:一般地,使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程,叫做解方程组。

二元一次方程组的解法:

消元法

1)代入消元法
用代入消元法的一般步骤是:
1.选一个系数比较简单的方程进行变形,变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式;
2.将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程,消去一个未知数,从而将另一个方程变成一元一次方程;
3.解这个一元一次方程,求出 x 或 y 值;
4.将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程(y = ax +b 或 x = ay + b),求出另一个未知数;
5.把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程的解。
例:解方程组 :x+y=5①
6x+13y=89②
解:由①得x=5-y③
把③代入②,得6(5-y)+13y=89
得 y=59/7
把y=59/7代入③,得x=5-59/7
得x=-24/7
∴ x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
我们把这种通过“代入”消去一个未知数,从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution),简称代入法。
2)加减消元法
用加减法消元的一般步骤为:
①在二元一次方程组中,若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数),则可直接相减(或相加),消去一个未知数;
②在二元一次方程组中,若不存在①中的情况,可选择一个适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数),再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知数,得到一元一次方程;
③解这个一元一次方程;
④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程,求另一个未知数的值;
⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程组的解。
例:解方程组:
x+y=9①
x-y=5②
解:①+②
2x=14
即 x=7
把x=7代入①,得
7+y=9
解,得:y=2
∴ x=7
y=2 为方程组的解
利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等,然后把两个方程相加(或相减),以消去这个未知数,使方程只含有一个未知数而得以求解。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法。
3)加减-代入混合使用的方法
例1 13x+14y=41 ⑴
14x+13y=40 ⑵
解:⑵-⑴得
x-y=-1
x=y-1 ⑶
把⑶代入⑴得
13(y-1)+14y=41
13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入⑶得
x=1
所以:x=1,y=2
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元。

换元法

例2,(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点:两方程中都含有相同的代数式,如题中的x+5,y-4之类,换元后可简化方程也是主要原因。

设参数法

例3,x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t,y=4t
方程2可写为:5t+6*4t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4

图像法

二元一次方程组还可以用做图像的方法,即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像,两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。


一般来说,一个二元一次方程有无数个解,而二元一次方程组的解有以下三种情况:
1)、唯一解
如方程组x+y=5①
6x+13y=89②
x=-24/7
y=59/7 为方程组的解

2)、有无数组解
如方程组x+y=6①
2x+2y=12②
因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”),所以此类方程组有无数组解。

3)、无解
如方程组x+y=4①
2x+2y=10②,
因为方程②化简后为
x+y=5
这与方程①相矛盾,所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况,如下列关于x,y的二元一次方程组:
ax+by=c
dx+ey=f
当a/d≠b/e 时,该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时,该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时,该方程组无解。

1.二元一次方程(组)及解的应用:注意:方程(组)的解适合于方程,任何一个二元一次方程都有无数个解,有时考查其整数解的情况,还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。
2.解二元一次方程组:解方程组的基本思想是消元,常用方法是代入消元和加减消元,转化思想和整体思想也是本章考查重点。
3.二元一次方程组的应用:列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系,题目内容往往与生活实际相贴近,与社会关系的热点问题相联系,请平时注意搜集、观察与分析。

一元一次不等式的常见解法:
如果a<b,
(1) 关于x不等式组{x>a} {x>b}的解集是:x>b
(2) 关于x不等式组{x<a} {x<b}的解集是:x<a
(3) 关于x不等式组{x>a} {x<b}的解集是:a<x<b
(4) 关于x不等式组{x<a} {x>b}的解集是空集。
以上取解集的方法可归纳为:两大取大,两小取小,大小小大取中间,大大小小取空集
一元一次不等式的解法:
解一元一次不等式与解一元一次方程的方法步骤类似,只是在利用不等式基本性质3对不等式进行变形时,要改变不等式的符号。
有两种解题思路:
(1)可以利用不等式的基本性质,设法将未知数保留在不等式的一边,其他项在另一边;
(2)采用解一元一次方程的解题步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。
解一元一次不等式的一般顺序:
(1)去分母 (运用不等式性质2、3)   
(2)去括号   
(3)移项 (运用不等式性质1)   
(4)合并同类项。   
(5)将未知数的系数化为1 (运用不等式性质2、3)   
(6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集

不等式解集的表示方法:
(1) 用不等式表示:一般的,一个含未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式表达出来。
例如:x-1≤2的解集是x≤3。   
(2) 用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地说明不等式有无限多个解。
用数轴表示不等式的解集要注意两点:一是定边界线;二是定方向。
一元一次不等式的解集:
一个有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。例如﹕不等式x-5≤-1的解集为x≤4;不等式x﹥0的解集是所有正实数。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
将不等式化为ax>b的形式
(1)若a>0,则解集为x>b/a
(2)若a<0,则解集为x<b/a
一元一次不等式的特殊解:
不等式的解集一般是一个取值范围,但有时需要求未知数的某些特殊解,如求正数解、整数解、最大整数解等,解答这类问题关键是明确解的特征。
不等式的解与解集:
不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。如x=1是x+2>1的解
①不等式的解是指某一范围内的某个数,用它来代替不等式中的未知数,不等式成立。
②要判断某个未知数的值是不是不等式的解,可直接将该值代入等式的左、右两边,看不等式是否成立,若成立,则是;否则不是。
③一般地,一个不等式的解不止一个,往往有无数个,如所有大于3的数都是x>3的解,但也存在特殊情况,如|x|≦0,就只有一个解,为x=0
不等式的解集和不等式的解是两个不同的概念。
①不等式的解集一般是一个取值范围,在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解,不等式一般有无数个解。
②不等式的解集包含两方面的意思:
解集中的任何一个数值,都能使不等式成立;解集外的任何一个数值,都不能使不等式成立。(即不等式不成立)
③不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来,如不等式x-1<2的解集是x<3,可以用数轴上表示3的点左边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈,表示不包括这一点。
 

小编提示,一元一次不等式组是在一元一次等式组的基础上拓展的内容,此知识点的学习建议在数轴的基础上加以理解。

重点:一元一次不等式组的解法,求公共解集的方法;
难点:1、含有字母系数的不等式组的解集的讨论;2、一元一次不等式组与二元一次方程组的综合问题。

一元一次不等式组的定义:
由含有同一未知数的多个一元一次不等式组合在一起,叫做一元一次不等式组。
一元一次不等式组的解法:
首先把每一个不等式的解集求出来,再求它们的公共部分,便得到不等式组的解集. 若是没有公共部分,这个一元一次不等式组就无解。
例如:

1、不等式x-5≤-1的解集为x≤4;

2、不等式x﹥0的解集是所有非零实数。

解法:求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。

求几个一元一次不等式的解集的公共部分,通常是利用数轴来确定的,公共部分是指数轴上被两条不等式解集的区域都覆盖的部分;
一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定,它们的解集、数轴表示如下表:(设a<b)

一元一次不等式组的解答步骤:
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;
(2)将这些不等式的解集在同一个数轴上表示出来,找出它们的的公共部分;
(3)根据找出的公共部分写出不等式组的解集,若没有公共部分,说明不等式组无解。

解法诀窍:
同大取大 ;
例如:
X>-1
X>2
不等式组的解集是X>2

同小取小;
例如:
X<-4
X<-6
不等式组的解集是X<-6

大小小大中间找;
例如,
x<2,x>1,不等式组的解集是1<x<2

大大小小不用找
例如,
x<2,x>3,不等式组无解

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