练习题及答案

　　平方差公式

　　平方差公式是某些特殊形式的多项式乘法公式，只有掌握平方差公式的一些本质的结构特点，才能正确地让公式更好地帮助我们进行简单计算。

　　1、平方差公式：

　　(a+b)(a-b)=a²-b²，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式。

　　文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

　　2、平方差公式的结构特点：

　　公式的左边是两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反项(即系数是互为相反数，其它因数相同),与位置无关。等式左边是两数和与这两个数的差的积，右边是两数的平方差。

      注意事项：

　（1）公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。

　（2）右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。

　（3）公式中的a.b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。

　　3、公式中字母的广泛意义：

　　既可以代表任意的数(正数、负数)，又可以代表任意单项式和多项式。注意代表单项式和多项式时，要有“整体思想”的观念。

　　4、公式的“口诀”记法

　　(1)两数问题：即两个括号内只研究“两个数”，如果有第三个数出现，那么就不能用公式。

　　(2)一同一异问题：即两个括号中间，一个括号内两项是同号的，另一个括号内两项是异号的。

　　平方差公式中常见错误：

　　①学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误;(错因：在公式的基础上类推，随意“创造”)

　　②混淆公式;

　　③运算结果中符号错误;

　　④变式应用难以掌握。

　　完全平方公式

　　完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解 (如对公式中积的一次项系数的理解)。

　　两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

　　理解公式左右边特征

　　(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;

　　(二)学会用文字概述公式的含义：

　　两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.

　　都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.

　　(三)这两个公式的结构特征是：

　　1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;

　　2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);

　　3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.

　　(四)两个公式的统一：

　　因为

　　所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。

　　完全平方公式的基本变形：

　　(一)变符号

　　例：运用完全平方公式计算：

　　(1)(-4x+3y)²

　　(2)(-a-b)²

　　分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。

　　解答：

　　(1)16x²-24xy+9y²

　　(2)a²+2ab+b²

　　(二)变项数：

　　例：计算：(3a+2b+c)²

　　分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，(3a+2b+c)²可先变形为[(3a+2b)+c]²，直接套用公式计算。

　　解答：9a²+12ab+6ac+4b²+4bc+c²

　　(三)变结构：

　　例：运用公式计算：

　　(1)(x+y)(2x+2y)

　　(2)(a+b)(-a-b)

　　(3)(a-b)(b-a)

　　分析:本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即

　　(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)²

　　(2) (a+b)(-a-b)=-(a+b)²

　　(3) (a-b)(b-a)=-(a-b)²

　　整式加减乘除混合运算

　　整式加减乘除混合运算是初中数学的常考知识点，也是学生普遍存在的重点和难点。加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。其中，加法和减法叫做第一级运算;乘法和除法叫做第二级运算。注意运算顺序，先做乘方，再做乘除，最做加减运算，如果有同类项，就合并同类项，要求结果必须是最简形式。

　　整式加减乘除混合运算顺序

　　只有一级运算时，从左到右计算；

　　有两级运算时，先乘除，后加减。

　　有括号时，先算括号里的；

　　有多层括号时，先算小括号里的。

　　要是有平方，先算平方。

　　在混合运算中，先算括号内的数，括号从小到大，然后从高级到低级。

　　整式加减乘除混合运算口诀

　　（1）合并同类项

　　说起合并同类项，法则千万不能忘。

　　只求系数代数和，字母指数留原样。

　　（2）去、添括号法则

　　去括号或添括号，关键要看连接号。

　　扩号前面是正号，去添括号不变号。

　　括号前面是负号，去添括号都变号。