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练习题及答案

如图,已知△ABC是等边三角形,D为AC边上的一个动点,DG∥AB,延长AB到E,使BE=CD,连结DE交BC于F。
(1)求证:DF=EF;
(2)若△ABC的边长为a,BE的长为b,且a、b满足,求BF的长;
(3)若△ABC的边长为5,设CD=x,BF=y,求y与x间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。
题型:解答题难度:中档来源:广东省期末题

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(1)证明:∵ △ABC是等边三角形
                    ∴∠A=∠B=60°
                  又 ∵ DG∥AB
               ∴∠CDG=∠A=60°,∠CGD=∠B=60°
              且∠GDF=∠E
                ∴△CDG是等边三角形
                 ∴ DG=CD=BE
                 在△DGF和△EBF中 
                
              ∴△DGF≌△EBF(AAS)
             ∴DF=EF
(2)解:由,得(a-5)2+(b-3)2=0 
                ∵(a-5)2 ≥ 0 ,(b-3)2 ≥ 0
                ∴(a-5)2=0 ,(b-3)2=0
                ∴ a=5,b=3 ,即:BC=5,CG=BE=3
                又∵ △DGF≌△EBF,∴ BF=GF 
                ∴
(3)解:∵ CD=x,BF=y ,BC=5
              又∵
               ∴所求的解析式
              自变量x的取值范围是0<x<5。
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考点梳理

初中三年级数学试题“如图,已知△ABC是等边三角形,D为AC边上的一个动点,DG∥AB,延长”旨在考查同学们对 等边三角形 有理数的乘方 求一次函数的解析式及一次函数的应用 全等三角形的性质 ……等知识点的掌握情况,关于数学的核心考点解析如下:

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考点名称:等边三角形

等边三角形定义
等边三角形(又称正三角形),为三边相等的三角形。其三个內角相等,均为60°。它是锐角三角形的一种。
等边三角形判定:
满足其中任意一条即满足另一条,即为正三角形(又名等边三角形):
1.三边长度相等
2.三角度数为60度
3.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

等边三角形性质:

如右图所示,等边三角形外接圆
h=a sin60°=1/2 √3a
r=1/2 a cot(π/3)=1/2 a tan(π/6)=1/6 √3a
R=1/2 a csc(π/3)=1/2 a sec(π/6)=1/3 √3a
S=1/4 na² cot(π/3)=1/4 √3a²
Sr= πr²=1/12πa²
SR=πR² =1/3πa²
①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)


等边三角形相关:
首先明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
其次明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。
推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

等边三角形的中心:等边三角形重心、内心 、外心、垂心重合。
等边三角形三心合一:等边三角形中心、内心和垂心重合于一点。
等边三角形三线合一等边三角形的每条边上的中线、高或对角平分线重合。 

考点名称:有理数的乘方

有理数乘方的定义:求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在an中,a叫做底数,n叫做指数。
22、73也可以看做是乘方运算的结果,这时它们表示数,分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”,其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。
①习惯上把22叫做2的平方,把23叫做2的立方;
②当地鼠是负数或分数时,要先用括号将底数括上,再在其右上角写指数,指数要写得小些。
乘方的性质:正数的任何次幂都是正数,负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数,0的任何正整数次幂都得0.
有理数乘方法则:
①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。例如:(-2)3=-8,(-2)2=4
②正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.例如:22=4,23=8,03=0
知识点点拨:
①0的次幂没意义;
②任何有理数的偶次幂都是非负数;
③由于乘方是乘法的特例,因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成;
④负数的乘方与乘方的相反数不同。
乘方示意图:
 
求一次函数的解析式及一次函数的应用
一次函数的解析式求解一般需要知道函数的已知两个坐标,然后列出根据函数解析式y=kx+b求出参数k,b的值。
 
待定系数法求一次函数的解析式:
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中的未知系数,从而得到函数的解析式的方法。
 
一次函数的应用:
应用一次函数解应用题,一般是先写出函数解析式,在依照题意,设法求解。
(1)有图像的,注意坐标轴表示的实际意义及单位;
(2)注意自变量的取值范围。
用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤:
第一步(设):设出函数的一般形式。(称一次函数通式)
第二步(代):代入解析式得出方程或方程组。
第三步(求):通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值。
第四步(写):写出该函数的解析式。
一次函数的应用涉及问题:
一、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符
合实际。
二、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻
求可以反映实际问题的函数
三、概括整合
(1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
生活中的应用:
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)

一次函数应用常用公式:
1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
4.求任意线段的长:√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
(x,y)为 + ,+(正,正)时该点在第一象限
(x,y)为 - ,+(负,正)时该点在第二象限
(x,y)为 - ,-(负,负)时该点在第三象限
(x,y)为 + ,-(正,负)时该点在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2,则k1=k2,b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,则k1×k2=-1
10.
y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口决:左加右减相对于x,上加下减相对于b。
11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0) 与y轴的交点:(0,b)

考点名称:全等三角形的性质

全等三角形的定义:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,“全等”用符号“≌”表示,读作“全等于”。
当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。
由此,可以得出:全等三角形的对应边相等,对应角相等。
 
全等三角形的性质:
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
5.全等三角形的对应边上的中线相等。
6.全等三角形面积相等。
7.全等三角形周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。
 
全等三角形的证明:
证明:有3种 
1.三组对应边分别相等(简称SSS) 
2.有一个角和夹这个角的两条夹边对应相等的两个三角形全等(SAS) 
3.有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 
注:S是边的英文缩写,A是角的英文缩写
由3可推到
4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)
 
全等三角形的判定定理:
(1)“边角边”简称“SAS” 
(2)“角边角”简称“ASA” 
(3)“边边边”简称“SSS” 
(4)“角角边”简称“AAS” 
注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 
 
全等三角形的证明题:
全等三角形的证明题精选

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