练习题及答案
如图，正三角形ABC内接于圆O，P是BC所对劣弧上一点，求证：PA=PB+PC． |
所属题型：解答题 试题难度系数：中档
答案（找答案上“沪江中学题库”）
 证明：证法1：以A为顶点，将△ABP旋转至点B与点C重合，如图所示： 根据旋转的性质知，PA=AD；△BAP≌△CAD， ∴CD=PB， ∵内接四边形的对角和为180°， ∴∠PCD=∠ACP+∠ACD=∠ACP+∠ABP=180°， ∴PA=PB+PC． 证法2：在AP上截取PQ，使PQ=PC．以A为顶点，作AD=AP，连接CD．如图所示： ∵∠PAB+∠PAC=∠DAC+∠PAC， ∴∠BAC=∠PAD， 又∵AD=AP，AB=AC， ∴△APD∽△ABC， ∴△PAD是等边三角形． ∴∠APD=60°， 则△PCQ是正三角形， ∴QC=PC=QP， ∴△BPC≌△AQC， 则BP=AQ， ∴PA=PB+PC． |
考点梳理
初中三年级数学试题“如图，正三角形ABC内接于圆O，P是BC所对劣弧上一点，求证：PA=PB+”旨在考查同学们对 等边三角形、 图形旋转、 ……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
考点名称：等边三角形
等边三角形定义：
等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个內角相等，均为60°。它是锐角三角形的一种。
等边三角形判定：
满足其中任意一条即满足另一条，即为正三角形（又名等边三角形）：
1.三边长度相等
2.三角度数为60度
3.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
等边三角形性质：
如右图所示，等边三角形外接圆
h=a sin60°=1/2 √3a
r=1/2 a cot(π/3)=1/2 a tan(π/6)=1/6 √3a
R=1/2 a csc(π/3)=1/2 a sec(π/6)=1/3 √3a
S=1/4 na² cot(π/3)=1/4 √3a²
Sr= πr²=1/12πa²
SR=πR² =1/3πa²
①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
等边三角形相关：
首先明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
其次明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形的中心：等边三角形重心、内心 、外心、垂心重合。
等边三角形三心合一：等边三角形中心、内心和垂心重合于一点。
等边三角形三线合一等边三角形的每条边上的中线、高或对角平分线重合。
