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练习题及答案

如图,三个半径为
3
的圆两两外切,且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切,那么△ABC的周长是(  )
A.12+6
3
B.18+6
3
C.18+12
3
D.12+12
3
魔方格

所属题型:单选题 试题难度系数:中档

答案(找答案上“沪江中学题库”


魔方格
如图.连接AR、RS、RW、DF、DE,由题意知,△ABC是等边三角形,∠EDB=60°,BD是∠EBF的平分线,
∴∠DBE=30°,BE=BF=DEcot30°=3,
同理,AW=AS=CG=CH=3,四边形WFDR,SGTR,THED是矩形,WF=SG=EH=DT=2
3

∴△ABC的周长=6BE+3EH=18+6
3

故选B.
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考点梳理

初中三年级数学试题“如图,三个半径为3的圆两两外切,且△ABC的每一边都与其中的两个圆”旨在考查同学们对 等边三角形 直线与圆的位置关系(直线与圆的相交,直线与圆的相切,直线与圆的相离) 圆和圆的位置关系(圆和圆的相离,圆与圆的相交,圆与圆的相切) 解直角三角形 ……等知识点的掌握情况,关于数学的核心考点解析如下:

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考点名称:等边三角形

等边三角形定义
等边三角形(又称正三角形),为三边相等的三角形。其三个內角相等,均为60°。它是锐角三角形的一种。
等边三角形判定:
满足其中任意一条即满足另一条,即为正三角形(又名等边三角形):
1.三边长度相等
2.三角度数为60度
3.有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

等边三角形性质:

如右图所示,等边三角形外接圆
h=a sin60°=1/2 √3a
r=1/2 a cot(π/3)=1/2 a tan(π/6)=1/6 √3a
R=1/2 a csc(π/3)=1/2 a sec(π/6)=1/3 √3a
S=1/4 na² cot(π/3)=1/4 √3a²
Sr= πr²=1/12πa²
SR=πR² =1/3πa²
①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)


等边三角形相关:
首先明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
其次明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。
推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

等边三角形的中心:等边三角形重心、内心 、外心、垂心重合。
等边三角形三心合一:等边三角形中心、内心和垂心重合于一点。
等边三角形三线合一等边三角形的每条边上的中线、高或对角平分线重合。 

直线与圆的位置关系:

直线与圆相交,直线与圆相切,直线与圆相离。
(1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点AB与⊙O相交,d<r;
(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切,d=r。
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离,AB与圆O相离,d>r。(d为圆心到直线的距离)

直线与圆的位置关系证明:
平面内,直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是:
1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x2+y2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的方程
如果b2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。
如果b2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切。
如果b2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y轴(或垂直于x轴),将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)2+(y-b)2=r2。
令y=b,求出此时的两个x值x1、x2,并且规定x1<x2,那么:
当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时,直线与圆相离;
当x1<x=-C/A<x2时,直线与圆相交。

直线与圆相关练习题:
直线ax+2y+6=0与圆x²+y²-2x+4y=0相交于p Q两点,o为原点,且op⊥oQ,求a值

直线与圆相切的证明方法:
一、根据切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
当已知直线与圆有公共点时,常用此法。辅助线是连结公共点和圆心,只要设法证明直线与半径垂直即可。

二、根据直线与圆的位置关系
若圆心到直线的距离等于圆的半径,则直线与圆相切。
当题设中不能肯定直线与圆有公共点时,常用此法。辅助线是过圆心作该直线的垂线段,只要设法证明垂线段等于半径即可。

圆和圆的位置关系:
如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。

圆和圆位置关系的性质与判定:
设两圆的连心线长为l,则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当l >r1+r2时,圆C1与圆C2相离;
(2)当l = r1+r2时,圆C1与圆C2外切;
(3)当|r1 – r2|<l<r1+r2时,圆C1与圆C2相交;
(4)当l = |r1– r2|时,圆C1与圆C2内切;
(5)当l<|r1 – r2|时,圆C1与圆C2内含.

两圆之间的位置关系:
关系一:
设d—两圆的圆心距离 ,R—大圆的半径,r—小圆的半径(两圆不是等圆)
1.外离 d>R+r (没有公共点)
2.外切 d=R+r (1个公共点)
3.相交 R-r<d<R+r(2个公共点)(R≥r)
4.内切 d=R-r (1个公共点)(R>r)
5.内含 0<d<R-r (没有公共点)(R>r) 特例:两圆同心。

关系二:按交点数分类
相离(没有公共点):外离、内含
相切(1个公共点):外切、内切
相交(2个公共点)

关系三:按公切线条数分类
外离:外公切线+内公切线 4条
外切:外公切线+内公切线 3条
相交:外公切线+内公切线 2条
内切:外公切线+内公切线 1条
内含:外公切线+内公切线 0条
 

考点名称:解直角三角形

解直角三角形:
在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
解直角三角形——锐角三角形函数
(1)互余角的三角函数值之间的关系:
  若∠ A+∠ B=90°,那么sinA=cosB或sinB=cosA
  (2)同角的三角函数值之间的关系:
  ①sin^2A+cos^2A=1
  ②TANA=sinA/cosA
  ③tanA=1/tanB
  ④a/sinA=b/sinB=c/sinC
(3)锐角三角函数随角度的变化规律:
角A的tan值和sin值随着角度的增大而增大,cos值随着角度的增大而减小。

直角三角形的定义有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形(Rt△)(英文:right triangle)。
直角三角形的判定方法:
判定1:有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2:若a²+b²=c²,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。
判定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4:两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。
判定5:若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数,则两直线互相垂直。那么
判定6:若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。
判定7:一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半,则这个三角形为直角三角形。(与判定3不同,此定理用于已知斜边的三角形。)
 

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