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练习题及答案

完成下列进位制之间的转化:10121(3)=______(5)

所属题型:填空题 试题难度系数:中档

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先转化为10进制为:
1*81+1*9+2*3+1=97 97/5=19…2 19/5=3…4 3/5=0…3 将余数从下到上连起来,即342
故答案为:342
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考点梳理

初中二年级数学试题“完成下列进位制之间的转化:10121(3)=______(5).”旨在考查同学们对 二元一次方程组的解法 二次根式的定义 同类二次根式 ……等知识点的掌握情况,关于数学的核心考点解析如下:

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定义:一般地,使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程,叫做解方程组。

二元一次方程组的解法:

消元法

1)代入消元法
用代入消元法的一般步骤是:
1.选一个系数比较简单的方程进行变形,变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式;
2.将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程,消去一个未知数,从而将另一个方程变成一元一次方程;
3.解这个一元一次方程,求出 x 或 y 值;
4.将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程(y = ax +b 或 x = ay + b),求出另一个未知数;
5.把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程的解。
例:解方程组 :x+y=5①
6x+13y=89②
解:由①得x=5-y③
把③代入②,得6(5-y)+13y=89
得 y=59/7
把y=59/7代入③,得x=5-59/7
得x=-24/7
∴ x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
我们把这种通过“代入”消去一个未知数,从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution),简称代入法。
2)加减消元法
用加减法消元的一般步骤为:
①在二元一次方程组中,若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数),则可直接相减(或相加),消去一个未知数;
②在二元一次方程组中,若不存在①中的情况,可选择一个适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数),再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知数,得到一元一次方程;
③解这个一元一次方程;
④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程,求另一个未知数的值;
⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程组的解。
例:解方程组:
x+y=9①
x-y=5②
解:①+②
2x=14
即 x=7
把x=7代入①,得
7+y=9
解,得:y=2
∴ x=7
y=2 为方程组的解
利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等,然后把两个方程相加(或相减),以消去这个未知数,使方程只含有一个未知数而得以求解。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法。
3)加减-代入混合使用的方法
例1 13x+14y=41 ⑴
14x+13y=40 ⑵
解:⑵-⑴得
x-y=-1
x=y-1 ⑶
把⑶代入⑴得
13(y-1)+14y=41
13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入⑶得
x=1
所以:x=1,y=2
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元。

换元法

例2,(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点:两方程中都含有相同的代数式,如题中的x+5,y-4之类,换元后可简化方程也是主要原因。

设参数法

例3,x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t,y=4t
方程2可写为:5t+6*4t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4

图像法

二元一次方程组还可以用做图像的方法,即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像,两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。


一般来说,一个二元一次方程有无数个解,而二元一次方程组的解有以下三种情况:
1)、唯一解
如方程组x+y=5①
6x+13y=89②
x=-24/7
y=59/7 为方程组的解

2)、有无数组解
如方程组x+y=6①
2x+2y=12②
因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”),所以此类方程组有无数组解。

3)、无解
如方程组x+y=4①
2x+2y=10②,
因为方程②化简后为
x+y=5
这与方程①相矛盾,所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况,如下列关于x,y的二元一次方程组:
ax+by=c
dx+ey=f
当a/d≠b/e 时,该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时,该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时,该方程组无解。

1.二元一次方程(组)及解的应用:注意:方程(组)的解适合于方程,任何一个二元一次方程都有无数个解,有时考查其整数解的情况,还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。
2.解二元一次方程组:解方程组的基本思想是消元,常用方法是代入消元和加减消元,转化思想和整体思想也是本章考查重点。
3.二元一次方程组的应用:列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系,题目内容往往与生活实际相贴近,与社会关系的热点问题相联系,请平时注意搜集、观察与分析。

考点名称:二次根式的定义

  二次根式

  一般地,形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。

  1、定义:一般地,形如√ā(a≥0,a是被开方数)的代数式叫做二次根式。当a>0时,√a表示a的算数平方根,√0=0

  2、概念:二次根式式子√ā(a≥0)叫二次根式。√ā(a≥0)是一个非负数。

  1)a≥0 ; √ā≥0 (双重非负性)

  2)(√ā)^2=a (a≥0)(任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式)

  3) √(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离,即勾股定理推论

  二次根式的常考知识点

  1、二次根式的概念

  2、二次根式取值范围。

  二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。

  二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。

  3、二次根式√ā(a≥0)的非负性。

  二次根式式子√ā(a≥0)叫二次根式。√ā(a≥0)是一个非负数。

  二次根式的乘除法则

  1、积的算数平方根的性质 列如:√ab=√a·√b(a≥0,b≥0)

  2、乘法法则,列如:√a·√b=√ab(a≥0,b≥0),二次根式的乘法运算法则,用语言叙述为:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。

  3、除法法则,√a÷√b=√a÷b(a≥0,b>0),二次根式的除法运算法则,用语言叙述为:两个数的算术平方根的商,等于这两个数商的算术平方根。

  4、有理化根式。如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。

  二次根式的加减法则

  1、同类二次根式。一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

  2、合并同类二次根式。把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

  3、二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并。

考点名称:同类二次根式

  同类二次根式

  二次根式是初二代数最重要的内容,同类二次根式又是其中最重要的概念之一,一个二次根式不能叫同类二次根式,至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。所以,化成最简二次根式后的被开方数相同,这样的二次根式叫做同类二次根式。要判断几个根式是不是同类二次根式,须先化简根号里面的数,把非最简二次根式化成最简二次根式。

  同类二次根式的学习方法

  “同类二次根式定义”学习三个梯级为:(1)实例引入同类二次根式定义,举正反例反复理解;(2)定义应用,充分理解“化简后,被开方数相同的二次根式”,并举几组不是最简二次根式的例子进行理解;(3)定义的拓广,从同类二次根式定义中发现一般同类根式的定义。

  同类二次根式与同类项的异同:

  同类二次根式与同类项无论在表现形式上还是运算法则上都有极类似之处,因此我们把二者的区别和联系列出,学习时注意辨析、对比来应用。

  相同点

  1. 两者都是两个代数式间的一种关系。同类项是两个单项间的关系,字母及相同字母的指数都相同的项;同类二次根式是两个二次根式间的关系,指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。

  2. 两者都能合并,而且合并法则相同。我们如果把最简二次根式的根号部分看做是同类项的指数部分,把根号外的因式看做是同类项的系数部分,那么同类二次根式的合并法则与同类项的合并法则相同,即“同类二次根式(或同类项)相加减,根式(字母)不变,系数相加减”。

  不同点

  1. 判断准则不同。

  判断两个最简二次根式是否为同类二次根式,其依据是“被开方数是否相同”,与根号外的因式无关;而同类项的判断依据是“字母因式及其指数是否对应相同”,与系数无关。

  2. 合并形式不同。

  判别二次根式的技巧和方法

  最简二次根式是一种特殊形式的二次根式,如果一个二次根式不是最简二次根式,应根据积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质将其化为最简二次根式,下面是判别同类二次根式和最简二次根式的技巧和方法。

  判别最简二次根式的方法

  1.被开方数不能含有开得尽方的因数

  例:化简363,被开方数中含有开得尽方的因数121。

  2.被开方数不能含有小数或分数

  3.被开方数不能含有开得尽方的因式

  判别同类二次根式的方法

  判别几个根式是否为同类二次根式,其依据的同类二次根式的定义,若几个二次根式化成最简二次根式后,被开方数相同,则这几个二次根式为同类二次根式。

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