中考数学总复习资料:第八章 线段、角、相交线、平行线

所属专题:百万名师范士闯  来源:沪江中学资源网    要点:中考数学  
编辑点评: 数学在中考五门课的考试中,占据着至关重要的位置。如何复习好中考数学,在考试中发挥正常水准是每个学生都希望做到的。因此,熟练掌握基本概念及数学例题是最基本的也是最重要的。

第八章:线段、角、相交线、平行线

知识点:

一、直线:

直线是几何中不加定义的基本概念,直线的两大特征是“直”和“向两方无限延伸”。

二、直线的性质:

经过两点有一条直线,并且只有一条直线,直线的这条性质是以公理的形式给出的,可简述为:过两点有且只有一条直线,两直线相交,只有一个交点。

三、射线:

1、射线的定义:直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。
2、射线的特征:“向一方无限延伸,它有一个端点。”

四、线段:

1、线段的定义:直线上两点和它之间的部分叫做线段,这两点叫做线段的端点。
2、线段的性质(公理):所有连接两点的线中,线段最短。

五、线段的中点:

1、定义如图1一1中,点B把线段AC分成两条相等的线段,点B叫做线段图1-1AC的中点。

2、表示法:
∵AB=BC
∴点 B为 AC的中点
或∵ AB=  MAC
∴点 B为AC的中点,或∵AC=2AB,∴点B为AC的中点
反之也成立
∵点 B为AC的中点,∴AB=BC
或∵点B为AC的中点,∴AB=  AC
或∵点B为AC的中点,∴AC=2BC

六、角

1、角的两种定义:一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。要弄清定义中的两个重点①角是由两条射线组成的图形;②这两条射线必须有一个公共端点。另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。可以看出在起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角。
2.角的平分线定义:一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。表示法有三种:如图1—2

(1)∠AOC=∠BOC    
(2)∠AOB=2∠AOC= 2∠COB
(3)∠AOC=∠COB= ∠AOB

七、角的度量:

度量角的大小,可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份,每一份叫做一度的角。1度=60分;1分=60秒。

八、角的分类:

1、锐角:小于直角的角叫做锐角
2、直角:平角的一半叫做直角
3、钝角:大于直角而小于平角的角
4、平角:把一条射线,绕着它的端点顺着一个方向旋转,当终止位置和起始位置成一直线时,所成的角叫做平角。
5、周角:把一条射线,绕着它的端点顺着一个方向旋转,当终边和始边重合时,所成的角叫做周角。
6、周角、平角、直角的关系是: l周角=2平角=4直角=360°

九、相关的角:

1、对顶角:一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。
2、互为补角:如果两个角的和是一个平角,这两个角做互为补角。
3、互为余角:如果两个角的和是一个直角,这两个角叫做互为余角。
4、邻补角:有公共顶点,一条公共边,另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。
注意:互余、互补是指两个角的数量关系,与两个角的位置无关,而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。

十、角的性质:

1、对顶角相等。
2、同角或等角的余角相等。
3、同角或等角的补角相等。

十一、相交线:

1、斜线:两条直线相交不成直角时,其中一条直线叫做另一条直线的斜线。它们的交点叫做斜足。
2、两条直线互相垂直:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直。
3、垂线:当两条直线互相垂直时,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
4、垂线的性质:
(1)过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。
(2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短。简单说:垂线段最短。

十二、距离:

1、两点的距离:连结两点的线段的长度叫做两点的距离。
2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
3、两条平行线的距离:两条直线平行,从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线,垂线段的长度,叫做两条平行线的距离。
说明:点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离,它们与点到直线的垂线段是分不开的。

十三、平行线:

1、定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。

2、平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。

3、平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
说明:也可以说两条射线或两条线段平行,这实际上是指它们所在的直线平行。

4、平行线的判定:
(1)同位角相等,两直线平行。
(2)内错角相等,两直线平行。
(3)同旁内角互补,两直线平行。

5、平行线的性质:
(1)两直线平行,同位角相等。
(2)两直线平行,内错角相等。
(3)两直线平行,同旁内角互补。
说明:要证明两条直线平行,用判定公理(或定理)在已知条件中有两条直线平行时,则应用性质定理。

6、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补。
注意:当角的两边平行且方向相同(或相反)时,这两个角相等。当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时,这两个角互补。

例题:

方法1:如何辨别角的个数与线段条数。

例1、如图1-4在线段AE上共有5个点A、B、C、D、E怎样才数出所有线段。

[思路分析]本问题如不认真审题会误以为有4点恰有4个空就是4条线段即AB、BC、 CD、 ED;而如果从一个端点出发、再找出另一个端点确定线段,就会发现有10条线段:即:AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10条。
规律总结:
此类型题如果做到不重不漏,最好方法是先从一个端点出发,再找出另一个端点确定线段。

例2、如图1一5指出图形中直线AB上方角的个数(不含平角)

[思路分析]此题有些同学不认真分析误认为就4个角,其实共有9个角。即:∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB共9个角。
规律总结:
从一个顶点引出多条射线时.为了确定角的个数,一般按边顺序分类统计,避免既不重复又不遗漏。

方法2:用代数法求角度

例3、已知一个锐角的余角,是这个锐角的补角的 ,求这个角。
[思路分析]
本题涉及到的角是锐角同它的余角及补角。根据互为余角,互为补角的概念,考虑它们在数量上有什么关系?设锐角为x,则它的余角为90 – x ,它的补角为180 – x,这就可以列方程了。解:略
规律总结:
有关余角、补角的问题,一般都用代数方法先设未知数,再依题意列出方程,求出结果。

方法3:添加辅助线平移角

例4、已知:如图l—6,AB∥ED
求证:∠B+∠BCD+∠D=360°

[思路分析]我们知道只有周角是等于360°,而图中又出现了与∠BCD相关的以C为顶点的周角,若能把∠B、∠D移到与∠BCD相邻且以C为顶点的位置,即可把∠B、∠BCD和∠D三个角组成一分周角,则可推出结论。证时:略
规律总结:
此题虽是三种证法但思想是一样的,都是通过加辅助线,平移角达到目的,这种处理方法在几何中常常用到。

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