2013中考数学每日一题(九)(附答案)

所属专题:2013中考试题及答案抢鲜看  来源:沪江中学学科网    要点:中考数学题  
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如图1,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4),以A为顶点的抛物线y=ax²+bx+c过点C。动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动。点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒,过点P作PE垂直于AB于点E。

(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值是多少?
(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以CQEH为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值。

满分解答:

(1)A(1,4)。因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x—1)²+4,代入点C(3,0),可得a=—1。
所以抛物线的解析式为y=—(x—1)²+4=—x²+2x+3。

考点伸展:

第(3)题的解题思路是这样的:因为FE//QC,FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形,再构造点F关于PE轴对称的点H',那么四边形EH'CQ也是平行四边形。再根据FE=QC列关于t的方程,检验四边形FECQ是否为菱形。

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