如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上，已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线y=ax²+2x+c经过O、A、C三点。
（1）求该抛物线的函数解析式。
（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N。问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标。若不存在，请说明理由。
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S，试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值。若不存在，请说明理由。
思路点拨：
1、如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段。
2、△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH，可以通过割补得到，即△OFG减去△OEH。
3、求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2。
4、设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示。
考点伸展：
第（3）题也可以这样来解：设点A′的横坐标为a。
由直线AC：y＝－x＋3，可得A′(a，－a＋3)。
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