2013中考数学每日一题(十五)(附答案)

所属专题:2013中考试题及答案抢鲜看  来源:沪江中学学科网    要点:中考数学题  
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如图1,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上,已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F,抛物线y=ax²+2x+c经过O、A、C三点。


(1)求该抛物线的函数解析式。
(2)点P为线段OC上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N。问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标。若不存在,请说明理由。
(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S,试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值。若不存在,请说明理由。

思路点拨:

1、如果四边形ABPM是等腰梯形,那么AB为较长的底边,这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形,AB边分成的3小段,两侧的线段长线段。
2、△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH,可以通过割补得到,即△OFG减去△OEH。
3、求△OEH的面积时,如果构造底边OH上的高EK,那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2。
4、设点A′移动的水平距离为m,那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示。 

考点伸展:

第(3)题也可以这样来解:设点A′的横坐标为a。
由直线AC:y=-x+3,可得A′(a,-a+3)。

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