2013中考数学每日一题(十八)(附答案)

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如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y=,点C的坐标为(–4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点P(t,0)在x轴上。

(1) 写出点M的坐标;
(2) 当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时,
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时,求t的值。

思路点拨

1.第(1)题求点M的坐标以后,Rt△OCM的两条直角边的比为1∶2,这是本题的基本背景图。
2.第(2)题中,不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等,根据数形结合,列关于t与x的比例式,从而得到t关于x的函数关系。
3.探求自变量x的取值范围,要考虑梯形不存在的情况,排除平行四边形的情况。
4.梯形的两底的长度之比为1∶2,要分两种情况讨论,把两底的长度比转化为QH与MO的长度比。

满分解答

(1)因为AB=OC= 4,A、B关于y轴对称,所以点A的横坐标为2。将x=2代入y=,得y=2。所以点M的坐标为(0,2)。

考点伸展

本题情境下,以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢?

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