2013中考数学每日一题(二十九)(附答案)

所属专题:2013中考试题及答案抢鲜看  来源:沪江中学学科网    要点:中考数学每日一题  
编辑点评: 数学是中考的难点和重点,沪江中学学科网的2013年中考数学每日一题为参加中考的同学每天准备一道数学压轴题,压轴题的训练可以复习到多个相互关联的知识点,并且锻炼数学逻辑思维能力。

 如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点。
(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;

(2)点P是x轴上的一个动点,过P作直线l//AC交抛物线于点Q。试探究:随着点P的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由; 

(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标。

思路点拨
 1.第(2)题探究平行四边形,按照AP为边或者对角线分两种情况讨论。
 2.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,构造点B关于“河流”AC的对称点B′,那么M落在B′D上时,MB+MD最小,△MBD的周长最小。

满分解答
(1)由y=-x²+2x+3=-(x+1)(x-3)=-(x-1)²+4,
得A(-1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)。
直线AC的解析式是y=3x+3。

(3)设点B关于直线AC的对称点为B′,联结BB′交AC于F。
 联结B′D,B′D与交AC的交点就是要探求的点M。
 作B′E⊥x轴于E,那么△BB′E∽△BAF∽△CAO。

考点伸展
 第(2)题的解题思路是这样的:
 ①如图4,当AP是平行四边形的边时,CQ//AP,所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称,点Q的坐标为(2, 3)。
 ②如图5,当AP是平行四边形的对角线时,点C、Q分居x轴两侧,C、Q到x轴的距离相等。

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